Tangente commune à deux courbes

On donne ci-dessous les représentations graphiques respectives ${\mathcal{C}}_f$  et ${\mathcal{C}}_g$  de deux fonctions $f$  et $g$  définies sur $\mathbb{R}$  l’ensemble des nombres réels.`

1. La fonction $f$  est définie sur $\mathbb{R}$  par  $f(x)=x^3+3x^2-9x-1$ .
On admet qu’elle est dérivable sur $\mathbb{R}$  et on note $f^{\prime }$  sa fonction dérivée.
    a. Calculer $f^{\prime }(x)$ .
    b. Déterminer le signe de $f^{\prime }(x)$  en fonction du réel $x$ . En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ .
    c. Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$  tangente à ${\mathcal{C}}_f$  au point d’abscisse $-1$ .

2. La fonction $g$  est une fonction polynôme du second degré ; il existe donc trois réels $a$ , $b$  et  $c$  tels que : $g(x)=a{x}^2+bx+c$  pour tout réel $x$ . On note $\mathrm{\Delta }$  son discriminant.
    a. Déterminer, à l’aide du graphique, le signe de $a$  et le signe de $\mathrm{\Delta }$ .
    b. La fonction $g$  est définie, pour tout réel $x$ , par $g(x)=10x^2+8x+8$ .
Démontrer que les courbes ${\mathcal{C}}_f$  et ${\mathcal{C}}_g$  ont un point commun d’abscisse $-1$  et qu’en ce point elles ont la même tangente.